Chuyển tới nội dung

Công thức nguyên hàm và bài tập có lời giải chi tiết 2025

  • bởi

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

Bảng công thức nguyên hàm cơ bản

Bài tập

Giải bài tập 4.1 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 – Cùng khám phá

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) \(x{e^x}\) và \((x – 1){e^x}\);

b) \(\frac{1}{2}{\ln ^2}x\) và \(\frac{{\ln x}}{x}\).

Lời giải

a) Xét \(f(x) = (x – 1){e^x}\), ta tính đạo hàm:

\(f'(x) = \frac{d}{{dx}}[(x – 1){e^x}] = {e^x} + (x – 1){e^x} = x{e^x}\)

Vậy \((x – 1){e^x}\) là nguyên hàm của \(x{e^x}\).

b) Xét \(f(x) = \frac{1}{2}{\ln ^2}x\), ta tính tích phân:

\(f'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{2}{{\ln }^2}x} \right) = \frac{1}{2}.\frac{d}{{dx}}\left( {{{\ln }^2}x} \right) = \frac{1}{2}.2.\ln x.\frac{d}{{dx}}\left( {\ln x} \right) = \ln x.\frac{1}{x} = \frac{{\ln x}}{x}\)

Vậy \(\frac{1}{2}{\ln ^2}x\) là nguyên hàm của \(\ln x\).

Giải bài tập 4.2 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 – Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = 4{x^5} + \frac{x}{2}\)

b) \(f(x) = 6{x^4} – \frac{{{e^x}}}{2} + \sin x\)

c) \(f(x) = {5^x} – \frac{4}{{x\sqrt x }} + 3\)

Lời giải

a) Tìm nguyên hàm của \(f(x) = 4{x^5} + \frac{x}{2}\):

\(\int f (x){\mkern 1mu} dx = \int {\left( {4{x^5} + \frac{x}{2}} \right)} dx = \frac{{4{x^6}}}{6} + \frac{{{x^2}}}{4} + C = \frac{{2{x^6}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C\)

b) Tìm nguyên hàm của \(f(x) = 6{x^4} – \frac{{{e^x}}}{2} + \sin x\):

\(\int f (x){\mkern 1mu} dx = \int {\left( {6{x^4} – \frac{{{e^x}}}{2} + \sin x} \right)} dx = \frac{{6{x^5}}}{5} – \frac{{{e^x}}}{2} – \cos x + C\)

c) Tìm nguyên hàm của \(f(x) = {5^x} – \frac{4}{{x\sqrt x }} + 3\):

\(\int f (x){\mkern 1mu} dx = \int {\left( {{5^x} – \frac{4}{{x\sqrt x }} + 3} \right)} dx = \frac{{{5^x}}}{{\ln 5}} – \frac{8}{{\sqrt x }} + 3x + C\)

Giải bài tập 4.3 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 – Cùng khám phá

Tìm hàm số \(f(x)\), biết một nguyên hàm của \(f(x)\) là:

a) \(F(x) = x\sin x + \sqrt 2 \)

b) \(F(x) = {e^x} – \sqrt x \)

Lời giải

a) Đạo hàm của \(F(x) = x\sin x + \sqrt 2 \):

\(f(x) = F'(x) = \sin x + x\cos x\)

b) Đạo hàm của \(F(x) = {e^x} – \sqrt x \):

\(f(x) = F'(x) = {e^x} – \frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Giải bài tập 4.4 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 – Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = 2x – {e^x}\), biết \(F(0) = – 2\).

Lời giải

\(F(x) = \int {(2x – {e^x})} {\mkern 1mu} dx = {x^2} – {e^x} + C\)

Với điều kiện \(F(0) = – 2\):

\(F(0) = – {e^0} + C = – 1 + C = – 2 \Rightarrow C = – 1\)

Vậy \(F(x) = {x^2} – {e^x} – 1\).

Giải bài tập 4.5 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 – Cùng khám phá

Biết \(F(x) = {e^x} + {x^2}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \(f'(x)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Tìm \(\int {f’} (x){\mkern 1mu} dx\).

Lời giải

Đạo hàm của \(F(x)\):

\(f(x) = F'(x) = {e^x} + 2x\)

Do đó: \(\int {f’} (x){\mkern 1mu} dx = f(x) + C = {e^x} + 2x + C\)

Giải bài tập 4.6 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 – Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = 3x(1 – x)\)

b) \(f(x) = {3^{2x}}\)

c) \(f(x) = \frac{{{x^2} – x + 2}}{{{x^2}}}\)

d) \(f(x) = {(2x – 1)^2}\)

Lời giải

a) Tính tích phân của \(f(x) = 3x(1 – x)\):

\(\int f (x){\mkern 1mu} dx = \int {(3x – 3{x^2})} {\mkern 1mu} dx = \frac{{3{x^2}}}{2} – {x^3} + C\)

b) Tính tích phân của \(f(x) = {3^{2x}}\):

Đặt \(u = 2x\) thì \(du = 2dx\) hay \(dx = \frac{1}{2}du\)

\(\int f (x){\mkern 1mu} dx = \int {{3^{2x}}dx} = \int {{3^u}.\frac{1}{2}du = \frac{1}{2}\int {{3^u}du = \frac{1}{2}.\frac{{{3^u}}}{{\ln 3}}} + C = \frac{{{3^{2x}}}}{{2\ln (3)}}} + C\)

c) Tính tích phân của \(f(x) = \frac{{{x^2} – x + 2}}{{{x^2}}}\):

\(\int f (x){\mkern 1mu} dx = \int {\left( {1 – \frac{1}{x} + \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} dx = x – \ln |x| – \frac{2}{x} + C\)

d) Tính tích phân của \(f(x) = {(2x – 1)^2}\):

Triển khai \({(2x – 1)^2} = 4{x^2} – 4x + 1\), sau đó tích phân:

\(\int f (x){\mkern 1mu} dx = \int {(4{x^2} – 4x + 1)} {\mkern 1mu} dx = \frac{{4{x^3}}}{3} – 2{x^2} + x + C\)

Giải bài tập 4.7 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 – Cùng khám phá

Tìm:

a) \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\)

b) \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\)

c) \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ – x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\)

Lời giải

a) Để tính \(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx\), ta sử dụng phép đổi biến \({4^{\frac{x}{2}}} = {\left( {{2^2}} \right)^{\frac{x}{2}}} = {2^x}\), do đó:

\(\int {{4^{\frac{x}{2}}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{2^x}du} = \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} + C\)

b) Tích phân \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx\) có thể được viết lại dưới dạng:

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = \int {\frac{1}{{{{\left( {\sin x\cos x} \right)}^2}}}dx = \int {\frac{4}{{{{\sin }^2}2x}}} } dx\)

Đặt \(u = 2x\) suy ra \(du = 2dx\), do đó:

\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}} {\mkern 1mu} dx = 2\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}u}}} du = – 2\cot u + C = – 2\cot 2x + C\)

c) Tích phân \(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ – x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx\) có thể được tách ra thành hai tích phân riêng:

\(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ – x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2\int {{e^x}} dx + \frac{1}{3}\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}x}}} \)

Tính từng tích phân:

\(2\int {{e^x}} dx = 2{e^x} + {C_1},\quad \frac{1}{3}\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} x{\mkern 1mu} dx = \frac{1}{3}\tan x + {C_2}\)

Vậy kết quả là:

\(\int {{e^x}} \left( {2 + \frac{{{e^{ – x}}}}{{3{{\cos }^2}x}}} \right)dx = 2{e^x} + \frac{1}{3}\tan x + C\)

Giải bài tập 4.8 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 – Cùng khám phá

Cường độ dòng điện (đơn vị: A) trong một dây dẫn tại thời điểm t giây là:

\(I(t) = Q'(t) = 3{t^2} – 6t + 5\),

với \(Q(t)\) là điện lượng (đơn vị: C) truyền trong dây dẫn tại thời điểm t. Biết khi \(t = 1\) giây, điện lượng truyền trong dây dẫn là \(Q(1) = 4\). Tính điện lượng truyền trong dây dẫn khi \(t = 3\).

Lời giải

Ta biết rằng cường độ dòng điện \(I(t)\) là đạo hàm của hàm điện lượng \(Q(t)\):

\(I(t) = Q'(t)\)

Để tìm hàm \(Q(t)\), ta tích phân hàm \(Q'(t)\):

\(Q(t) = \int {(3{t^2} – 6t + 5)} {\mkern 1mu} dt = {t^3} – 3{t^2} + 5t + C\)

Theo đề bài ta có \(t = 1\) giây, \(Q(1) = 4\). Sử dụng điều kiện này để tìm \(C\):

\(Q(1) = {1^3} – 3 \cdot {1^2} + 5 \cdot 1 + C\)

\(4 = 1 – 3 + 5 + C\)

\(4 = 3 + C\)

\(C = 1\)

Vậy hàm \(Q(t)\) là:

\(Q(t) = {t^3} – 3{t^2} + 5t + 1\)

Thay \(t = 3\) vào hàm \(Q(t)\):

\(Q(3) = {3^3} – 3 \cdot {3^2} + 5 \cdot 3 + 1\)

\(Q(3) = 27 – 27 + 15 + 1\)

\(Q(3) = 16\)

Điện lượng truyền trong dây dẫn khi \(t = 3\) giây là \(Q(3) = 16\).

Giải bài tập 4.9 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 – Cùng khám phá

Một chiếc cốc chứa nước ở 95°C được đặt trong phòng có nhiệt độ 20°C. Theo định luật làm mát của Newton, nhiệt độ của nước trong cốc sau t phút (xem \(t = 0\) là thời điểm nước ở 95°C) là một hàm số \(T(t)\). Tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm t phút được xác định bởi \(T'(t) = – \frac{3}{2}{e^{ – \frac{t}{{50}}}}\)(°C/phút). Tính nhiệt độ của nước tại thời điểm \(t = 30\) phút.

Lời giải

Ta biết rằng tốc độ giảm nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm \(t\) phút được cho bởi:

\(T'(t) = – \frac{3}{2}{e^{ – \frac{t}{{50}}}}\)

Để tìm hàm số \(T(t)\), ta sẽ tích phân hàm \(T'(t)\):

\(T(t) = \int {T’} (t){\mkern 1mu} dt = \int – \frac{3}{2}{e^{ – \frac{t}{{50}}}}{\mkern 1mu} dt\)

Sử dụng phương pháp thay biến để tính tích phân. Đặt:

\(u = – \frac{t}{{50}} \Rightarrow du = – \frac{1}{{50}}{\mkern 1mu} dt \Rightarrow dt = – 50{\mkern 1mu} du\)

Thay vào tích phân:

\(\int – \frac{3}{2}{e^{ – \frac{t}{{50}}}}{\mkern 1mu} dt = \int – \frac{3}{2}{e^u} \cdot ( – 50){\mkern 1mu} du\)

\( = 75\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du\)

\( = 75{e^u} + C\)

\( = 75{e^{ – \frac{t}{{50}}}} + C\)

Vậy hàm số \(T(t)\) có dạng:

\(T(t) = 75{e^{ – \frac{t}{{50}}}} + C\)

Theo đề bài khi \(t = 0\) phút, nhiệt độ của nước là 95°C:

\(T(0) = 95\)

\(95 = 75{e^0} + C\)

\(95 = 75 + C\)

\(C = 20\)

Vậy hàm số \(T(t)\) là:

\(T(t) = 75{e^{ – \frac{t}{{50}}}} + 20\)

Thay \(t = 30\) vào hàm số \(T(t)\):

\(T(30) = 75{e^{ – \frac{{30}}{{50}}}} + 20 = 75{e^{ – \frac{3}{5}}} + 20 \approx 61,16\)

Vậy nhiệt độ của nước trong cốc tại thời điểm \(t = 30\) phút là khoảng \(61,16^\circ C\).